 

\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
%\input{../../definisjoner/defn}
%\input{../../definisjoner/header-hio-forkurs}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forst� ��� i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT ���
\usepackage{graphicx}
\newtheorem{ex}{Oppgave}
\newcommand{\oppgave}{\section{}}

%\setlength{\mathindent}{1.5cm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}



\begin{center}
\sffamily \Large

\begin{tabular}[t]{ll}
Innlevering                & Fork1100 - Matematikk forkurs OsloMet \\
                            & Obligatorisk innlevering 5 \\
Innleveringsfrist           & Fredag 12.~februar 2021 kl 12:30   \\
Antall oppgaver:             & 11
\end{tabular}
\end{center}

%En br\o k er p\aa\ standard form hvis den er $ m/n $ hvor $ n>0$, $ m \not=0$ og $m$ og $n$ er relativt primiske, eller den er $0/1$.

\begin{center}  Alle svar skal begrunnes.   

Alle funksjonene har den naturlige definisjonsmengden, hvis ikke annet er oppgitt. 

\end{center}

\oppgave
Deriver de f\o lgende funksjonene.
 
 \[ a(x) = x^{7}  \]

   \[ b(x) =     3 x^{11}               \]

   \[ c(x) =        5 + 3 x - 5x^2   - 13  x^4        \]

  \[ d(x) =     2 x^0  + 43.54 x^2 +    3 \sqrt{2} x^5 + (3/4) x^7     \]

   \[ e(x) =     6 \sqrt{x} + \frac{4}{x}          \]

   \[ f(x) =  5 ( 2x -5 )^2 - 3 ( 2x -5 )^9    \]

  \[ g(x) =  \frac{4}{ 5 - 3 x } + 5 \sqrt{ 3 - x }    + \sqrt{ 3 x }  \]
 
 
\oppgave Finn   tangent- og normal-linjene til funksjonen
$ f(x) =   x^4 - x^3 + x^2 -  2    $ i punktet  $ (1 , -1 ) $.


\oppgave  For hver av funksjonene 1)  Beskriv den naturlige definisjonsmengden $D_f$  til funksjonen
 2)  finn verdiene i  $D_f$ hvor funksjonen ikke er kontinuerlig  3) finn verdiene i  $D_f$ hvor funksjonen ikke er deriverbar, og finn den deriverte til funksjonen (hvor den eksisterer).  
  
 \[  a(x) =               \sqrt{ 12 x - 9 } \] 

  \[  b(x) =   \frac{ x^2 -4  }{ x-2 }             \] 

  \[  c(x) =    | x| + 5 | 2x - 3 |               \] 

   \[  d(x) =   | x  ( 1 -x )  |     \] 

  \[  e(x) =          \left\{ \begin{array}{cc}
                                 2x -1  & x \leq 1  \\
                                 x^2   &  1 < x   \\
                                \end{array} \right.       \] 
  \[  f(x) =    \left\{ \begin{array}{cc}
                                 x & x \leq -1  \\
                                  x+3 &  -1 < x < 1  \\
                                5-  x^2  &  x \geq 1
                                \end{array} \right.
             \] 


\oppgave  
Bestem $a$ slik at funksjonen 
 \[ f(x) =          \left\{ \begin{array}{cc}
                                 (x^3 + 2x -3)/(x^2 -1)  & x \not= \pm 1   \\
                                 a   &  x = 1   \\
                                \end{array} \right.       \]
blir kontinuerlig i $x=1$.  Bestem alle asymptotene til funksjonen.


\oppgave  Finn   asymptotene   og diskontinuitetene  til funksjonene nedenfor.
Lag gjerne en enkel skisse av grafen til funksjonene.

 \[ a(x) = \frac{ 1}{ x -2}  + 2  \]
 
 \[ b( x) = \frac{ 2x-1}{ x+ 1}  \]
 
 \[ c(x) = \frac{ x^3 +8 }{(x+2)^2 } \]
 
 \[ d(x) = \frac{ x^3 + 8 x^2 + 13 x + 6 }{ x^2 + 5x - 6 } \]
 
 
\[ e(x)  =  \left\{ \begin{array}{cc}
2x - 1/x  & x < 0   \\
3 & x= 0 \\
( 3 x + 1)/( - x +1)  & 0 < x, x \not= 1 
  \end{array} \right. \] 

\[ f(x) =    \left\{ \begin{array}{cc}
                                   \sqrt{ x^2 + 1}   & x \leq 0  \\
                                 1/ ( 2 x^2 -1 )   &  0  < x < 1  \\
                                  \sqrt{x + 1 } - \sqrt{x}   &  x \geq 1
                                \end{array} \right.
              \]
 

\oppgave    Gitt f\o lgende funksjon med definisjonsmengde alle reelle tall  \[  g(x)  =2 x^3 - 9 x^2 + 12 x   \]   Finn  nullpunkt,  ekstremalpunkt og vendepunkt til $g(x)$.
Avgj\o r hvor $ g(x)$ vokser og  avtar, og hvor den er konkav opp og konkav ned.   Lag en skisse av
grafen til $g(x)$.


\oppgave  Vi skal lage til en \aa pen boks med volum $ 1 m^3$. Bunnen skal v\ae re like tjukk som  veggene.
\begin{itemize}

\item[1)]  Vis at boksen m\aa\ v\ae re kvadratisk.  

\item[2)]  Hva m\aa\ dimensjonen p\aa\ boksen v\ae re for at kostnadene skal minimeres? 
\end{itemize}

\oppgave
Finn inversfunksjonen til 
   \[ y = 3x -4 \]
   \[ z  = \sqrt{3 x +5 }  \]
 \[  \textrm{ \ae }  = x^2 +2 x + 3 \quad \quad x \leq -1  \]
For den siste funksjonen skal inversfunksjonen v\ae re slik at $ x ( \textrm{\ae } ) \leq -1$. 


\oppgave
En funksjon er gitt ved
\[ g(x) =  \left\{ \begin{array}{cc}
x^2 +2x  &  -3 < x < 0 \\
x - x^2   & 0 \leq x \leq 2 \\
x \sqrt{x} -3   & 2 <   x  \leq 3 
  \end{array} \right.\]

  Finn asymptotene, nullpunktene  til $g(x)$.
Avgj\o r hvor $ g(x)$ vokser og avtar. Finn de kritisk punktene og  ekstremalpunktene  til $g(x)$. 
Finn vendepunktene og avgj\o r hvor funksjonen $g(x)$  er konkav opp og konkav ned.
Lag en skisse av
grafen til $g(x)$.


\oppgave  Deriver f\o lgende funksjoner
 \[ a(x) = x^{\sqrt{2} } - 2 x^{\pi} + x^2 \sqrt{x }   \]

   \[ b(x) =    \sqrt{3x^5  }   - \frac{ 2}{x^5}       \]

   \[ c(x) =       \frac{ 2}{1+x^2 }  - \sqrt[3]{ 4 + x^3}    \]

  \[ d(x) =   3  x^2 ( 2x - 7 )^5    + \frac{x^3 }{ 1 + x + x^2 }   \]

   \[ e(x) =  \frac{\sqrt{ 2x -1}}{ (x+1)^4 }            \]

   \[ f(x) =   \ln ( | 2 x + 3 |   -  x \ln | x^2 - 4 |   \]

  \[ g(x) =  e^{ -x  }   - 3 e^{ x^2  -4 } + \frac{2}{e^{ 3x -1  }  }      \]
 
 
 \oppgave
 Finn ekstremalpunkt og vendepunkt til funksjonen
 \[ f(x) = xe^{-2x + 1 } \quad \quad x \geq 0  \]
 Bestem monotoniegenskapene til funksjonen og avgj\o r hvor den er konkav opp og konkav ned.  
 
 
\end{document}

\oppgave    Vis f\o lgende utviding av kvotientregelen
\[  \left( \frac{f(x) }{(g(x))^n }  \right)' = \frac{ f' (x) g(x)   - n f(x) g' (x)    }{(g(x))^{n+1} } . \]

