

\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts}
%\input{../../definisjoner/defn}
%\input{../../definisjoner/header-hio-forkurs}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}       % Forst� ��� i teksten
\usepackage[T1]{fontenc}            % SKRIVE UT ���
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\newtheorem{ex}{Oppgave}
\newcommand{\oppgave}{\section{}}

%\setlength{\mathindent}{1.5cm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\begin{center}
\sffamily \Large

\begin{tabular}[t]{ll}
Innlevering                & Fork1100 - Matematikk forkurs OsloMet \\
                            & Obligatorisk innlevering 6 \\
Innleveringsfrist           & Fredag 12.~mars 2021 kl 12:30   \\
Antall oppgaver:             & 11
\end{tabular}
\end{center}


\begin{center}  Alle svar skal begrunnes.
\end{center}


\oppgave
Deriver   f\o lgende funksjoner

 \[ a(x) = \sin ( 3x ) - \cos ( 2x -5 ) +3  \]

   \[ b(x) =     2 \sin (x) \cos (x)               \]

   \[ c(x) =        \sin^2 (x) + \cos^2 ( x)        \]

  \[ d(x) =     2 e^{ 3x - \sqrt{2} }     \]

   \[ e(x) =    (x+2 ) \sin (1- 4x  ) + \sin (2)          \]

   \[ f(x) =    \ln ( 3 | 2 - 3x | ) + \ln (2^x)   \]


\oppgave  L\o s f\o lgende likninger og finn de eksakte l\o sningene. Oppgi ogs\aa\ l\o sningene som   desimaltall som tiln\ae rmer l\o sningene. (For eksempel er $\ln (3) $ eksakt l\o sning til $ e^x = 3$. Et desimaltall som er tiln\ae rmet lik $\ln 3 $ er 1.0986.)

 \[   10^x = 30  \]

  \[   7^{x^2 } = 29          \]

  \[     \log | x - 5 | = 2           \]

   \[   2^x = 3^{x+1 }   \]

  \[  4^x - 3\cdot  2^x + 2 = 0     \]

  \[  2^{r^2 + r }  = 32
             \]

\[\log_a (10) = 4 \quad (\mathrm{variabelen \ er \  grunntallet} \ a)\]

\[ ( \ln (x) )^3 - 8 ( \ln ( x ) )^2 + 15 \ln (x) = 0  \]


\oppgave
Finn tiln\ae rma l\o sninger til f\o lgende likninger.  Bruk gjerne geogebra eller lignende regneprogram.  Pr\o v \aa\ finne alle l\o sningene.

\[  x^x = 100 \]

\[ 2^x - x^2  = 0 \]

\[ \sin ( 2x ) = x \]

\[ \ln x  =   x -2 \]


\oppgave  Finn nullpunkt, ekstremalpunkt og vendepunkt til funksjonen
\[ f(x) = x^3 e^{-2x} \] Finn ogs\aa\ asymptoter og lag en skisse av grafen til funksjonen.


\oppgave  Finn nullpunkt, ekstremalpunkt og vendepunkt til funksjonen
\[ p(x) = \frac{x}{\ln (x) }  \] Finn ogs\aa\ asymptoter og lag en skisse av grafen til funksjonen. (Denne funksjonen er knyttet til primtallsfordeling. De  som \o nsker  kan  l\ae  re mer om primtall her \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number}{Wikipedia})


\oppgave
Finn den f\o rste og den andre deriverte til funksjonen
\[ s(x) = e^{ax} \cos (bx) \]
Her er  $a$ og $b$ to  parametre. (De oppf\o rer seg som konstanter, men de har ikke en fastsatt verdi.)


\oppgave
Vis at den deriverte til den inversesinus funksjonen $\sin^{-1} x = \arcsin (x)$ er lik
\[ ( \arcsin (x))' = \frac{1}{\sqrt{1 -x^2 }} \]
Hint:  Dere kan for eksempel benytte kjerneregelen p\aa\ den sammensatte funksjonen
\[ \sin ( \arcsin (x) ) = x \] for $ x \in \langle -1 ,1 \rangle$. Se gjerne notatene for hvordan vi regnet ut den deriverte til $\ln (x)$ fra den deriverte til inversfunksjonen $e^x$. \href{http://fausk.com/und/Forkurs21/Forelesninger/2021-02-03_naturlig_logaritme.pdf}{Her er notatene}.


\newpage
De to neste oppgavene ligner p\aa\  oppgaver   gitt til  \href{http://fausk.com/und/EksamensoppgaverForkurs/2020-05-20_forkurs_eksamen.pdf}{eksamen v\aa ren 2020}.
\oppgave Bestem eksakt verdi  til $\sin (v) $, $ \cos (2v ) $ og $ \tan (v)$ n\aa r \[ \cos ( v ) = -1/\sqrt{3} \] og vinkelen ligger i 3. kvadrant.


\oppgave  Beskriv    $ \cos^2 (x)$ som en  funksjon p\aa\ formen
$ a \sin ( kx + c ) + d $. Beskriv amplituden, jamvektslinjen og perioden til $\cos^2 (x)$.


\oppgave Finn asymptoter og nullpunkt til funksjonen  $ \tan (x + 2 ) + \sqrt{3} $.
L\o s ogs\aa\ ulikheten $ \tan ( x +2 )> - \sqrt{3} $.


\oppgave
Deriver de f\o lgende funksjonene (fors\o  k gjerne \aa\ forenkle uttrykkene f\o r dere deriverer)

 \[ a(x) = \log_5 \sqrt{ 3x - 2 }     \]

   \[ b(x) =  \ln | x^3 - x | - \ln | x+1 | - \ln |x-1|   \]

   \[ c(x) =       x^{-x}       \]

  \[ d(x) =     \cos ( \sin x)    \]

   \[ e(x) =   \log | x^4 \cos^3 ( x)  |      \]

   \[ f(x) =    \frac{\sin ( 3 x + 1 )}{ ( 10^x )^2 } + 5 \sqrt{ e^{2x} }  \]

\end{document}


\oppgave Vis at tangensfunksjonen $ y(x) = \tan x$ oppfyller  likningen
\[ y' (x)  = 1 + y^2 (x) \] for alle $x$ (hvor funksjonen er definert).
Vis ogs\aa\ at den dobbelderiverte oppfyller  likningen \[ y'' (x) = 2 y(x) y' (x) \]for alle $x$. Disse likningene er eksempler p\aa\ differensiallikninger.



\oppgave  Bestem eksakt verdi til sinus av $\pi / 8$ (22.5 grader) ved \aa\ bruke formelen for dobling av vinkel og de kjente verdiene $ \cos (\pi /4 ) = 1/ \sqrt{2} = \sin ( \pi /4 )$.  (Regn gjerne ut eksakt verdi til sinus av  og $ \pi /16$ (11.25 grader) ogs\aa .)


\oppgave    Vis f\o lgende utviding av kvotientregelen
\[  \left( \frac{f(x) }{(g(x))^n }  \right)' = \frac{ f' (x) g(x)   - n f(x) g' (x)    }{(g(x))^{n+1} } . \]

